terça-feira, 30 de outubro de 2012

Integral por frações parciais.

23:09  Tom Faria  No comments


A técnica de frações parciais é muito útil na resolução de integrais do tipo:
\int \frac{f(x)}{g(x)h(x)}\,dx
A integral pode ser representada por:
\int \frac{A}{g(x)} + \frac{B}{h(x)}\,dx, no qual A.h(x)+B.g(x)=f(x).
Com isso, muitas vezes é possível dividir a integral em duas, onde a resolução de cada uma torna-se mais fácil pela simplicidade obtida no denominador.

Vídeo-Aula:



Exemplo de aplicação:

I = \int \frac{1}{x^2-5x}\,dx
I = \int \frac{A}{x}+\frac{B}{x-5}\,dx
\frac{(A + B)x - 5A}{x^2-5x} = \frac{1}{x^2-5x}   ∴    \,(A + B)x - 5A = 1

\left \{ \begin{matrix} A + B = 0 \\ -5A = 1 \end{matrix} \right . \quad   ∴    \quad A=-\frac{1}{5}\,,\quad B=\frac{1}{5}.
I = \int \frac{-\frac{1}{5}}{x}\,dx + \int \frac{\frac{1}{5}}{x-5}\,dx = \frac{1}{5} \ln\left ( \frac{x-5}{x} \right ) + C. 

A segunda integral pode ser facilmente resolvida utilizando o método da substituição.

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