Engenharia Civil - UniEvangélica: Video-Aulas

As figuras e formas da natureza podem ser compreendidas como produtos do movimento. O movimento do elemento geométrico mais simples - o ponto - gera linhas e, particularmente, retas. O movimento de segmentos de reta num plano forma figuras planas - retângulos, quadrados, círculos. Já o movimento de figuras no espaço gera corpos. Entre estes últimos, existem alguns muito especiais: são os corpos que se formam a partir do movimento completo de uma figura invariável em torno de um eixo. Este movimento particular recebe o nome de revolução e os corpos por ele gerados são chamados corpos de revolução, que estão presentes de inúmeras maneiras em nossa vida cotidiana.

O Cilindro

Podemos obter um cilindro de diversas maneiras. Estudaremos duas possibilidades:

Figura 1

Partindo de um retângulo, fazendo-o girar uma volta inteira sobre um de seus lados. Este lado é o eixo de rotaçãoe corresponde à sua altura, isto é, à distância entre as duas bases do cilindro (Figura 1).

Figura 2

O lado paralelo ao eixo de rotação será a geratriz do cilindro e adotará infinitas posições. Os outros lados do retângulo são os raios das bases.

'	Partindo de uma chapa de forma retangular, vamos enrolá-la sobre si mesma, fazendo com que os dois lados opostos coincidam. Desse modo, observamos claramente que a superfície lateral do cilindro é um retângulo e que as bases são círculos (Figura 2).

Superfície lateral e área total

A superfície lateral de um cilindro é obtida partindo-se da planificação do cilindro.

Observe que, no caso da superfície lateral do cilindro, a planificação corresponde a um retângulo. O lado maior do retângulo é proporcional ao comprimento da circunferência e o lado menor do retângulo corresponde à altura do cilindro. Assim, calculamos a sua área lateral a partir da fórmula da área de um retângulo - o produto do comprimento da circunferência da base pela altura:

onde h é a altura e 2

r é o comprimento da circunferência.

A área total do cilindro é igual à área lateral mais a área das duas bases (círculos):

Vídeo-Aula:

Achando Volume por integração:

Cone:

O cone é um tipo de forma piramidal. A equação fundamental para pirâmides, um terço vezes base de altitude vezes, aplica-se a cones também.

No entanto, utilizando o cálculo, o volume de um cone é o integrante de um número infinito de infinitamente pequenas placas circulares de espessura dx . O cálculo do volume de um cone de altura h , cuja base está centrado em (0,0,0) com um raio r , é o seguinte.

O raio de cada laje circular é r se x = 0 e 0 se x = h , e variando de forma linear entre, isto é, $r \ frac {(HX)} {h}.$

A área da superfície da laje circular é então $\ Pi \ left (r \ frac {(HX)} {h} \ right) ^ 2 = \ pi r ^ 2 \ frac {(hx) ^ 2} {h ^ 2}.$

O volume do cone pode ser então calculada como $\ Int_ {0} ^ h \ pi r ^ 2 \ frac {(hx) ^ 2} {h ^ 2} dx,$

e depois da extracção das constantes: $\ Frac {\ pi r ^ 2} {h ^ 2} \ int_ {0} ^ h (hx) ^ 2 dx$

Integrando nos dá $\ Frac {\ pi r ^ 2} {h ^ 2} \ left (\ frac {h ^ 3} {3} \ right) = \ frac {1} {3} \ pi r ^ 2 h.$

A técnica de frações parciais é muito útil na resolução de integrais do tipo:

$\int \frac{f(x)}{g(x)h(x)}\,dx$

A integral pode ser representada por:

$\int \frac{A}{g(x)} + \frac{B}{h(x)}\,dx$ , no qual $A.h(x)+B.g(x)=f(x)$ .

Com isso, muitas vezes é possível dividir a integral em duas, onde a resolução de cada uma torna-se mais fácil pela simplicidade obtida no denominador.

Vídeo-Aula: